Orlando Villamayor
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La demostración que da Hironaka de su teorema es existencial: Fijada la variedad singular la demostración indica que existe una resolución, e incluso que existen muchas resoluciones distintas. Esto planteaba nuevos problemas. Por ejemplo, si un grupo actúa en una variedad es natural preguntarse si la acción se conserva en alguna resolución de singularidades de la misma. Ésta y otras preguntas naturales motivaron la búsqueda de demostraciones algorítmicas (o constructivas) del teorema de resolución, en la que fijada una variedad singular se construye una resolución explícita de sus singularidades. En esta dirección van los trabajos referidos en [4].
Los algoritmos de resolución algorítmica de singularidades plantearon, a su vez, nuevas preguntas sobre la clasificación de las singularidades, y agrupamos en [3] algunas publicaciones en esta línea. En particular se demuestra en Villamayor-2000 que la teoría de equisingularidad de Zariski es, en algún sentido natural, compatible con la resolución algorítmica de singularidades. Cabe destacar que los trabajos de Abyhankar, Hironaka y Zariski fueron un punto de partida fundamental para la realización de los trabajos anteriores, y también fue muy significativa la influencia de Jean Giraud y de Joseph Lipman.
En Villamayor-2014, usando resultados expuestos en trabajos de Lipman entre otros, se obtiene una demostración alternativa de la resolución de singularidades en característica cero. En ella la noción de función de Hilbert-Samuel de la singularidad, utilizada en los trabajos de Hironaka, es reemplazada por la de Multiplicidad, que es un invariante más primitivo y elemental. Otro aspecto a destacar de esta trayectoria de investigación ha sido el estudio de singularidades sobre cuerpos de característica positiva (ver [5]), marcado siempre por la búsqueda de invariantes propios de la característica. La colaboración con Santiago Encinas, con Ana Bravo y con Angélica Benito, ha sido crucial en el desarrollo de esta trayectoria de investigación sobre singularidades como queda reflejado en [2], [3],[4], y [5].
Los primeros pasos de Villamayor en el Álgebra Conmutativa (ver
[6]) se dieron
durante su estancia en la
Universidad de Colonia, Alemania, entre los años 1986
y 1988, con una beca de la
Fundación Humboldt. Durante ese período trabajó bajo
la dirección de
Manfred Herrmann, que fue para Villamayor un referente
importante que marcó su interés por la investigación sobre distintas
cuestiones, siempre a mitad de camino entre el álgebra y la geometría.